前言
这篇文章译自：https://learnxinyminutes.com/docs/lambda-calculus/，写的精简了点，理解起来可能有些困难
建议配合让我们谈谈 $\lambda$ 演算.pdf一起食用（出自https://github.com/txyyss/Lambda-Calculus/releases）。这篇不算长，深入浅出，写的也极好。
整体介绍
Lambda演算( $\lambda$ 演算)由Alonzo Church提出，是世界上最简洁的编程语言。尽管没有数字、字符串、布尔值等非函数数据类型，lambda演算还是可以表达任何图灵机。
Lambda演算由三种元素组成：变量（variables），函数（functions），以及应用（applications）。
| 名称 | 语法 | 例子 | 解释 |
|---|---|---|---|
| Variable | <name> | x | 一个名为“x”的变量 |
| Function | $\lambda$ <parameters>.<body> | $\lambda$ x.x | 一个拥有参数“x”以及函数体x的函数 |
| Application | <function><variable or function> | ( $\lambda$ x.x).a | 调用函数“ $\lambda$ x.x”且参数值为“a” |
最基础的函数就是恒等函数： $\lambda$ x.x（即f(x)=x）。第一个“x”代表函数的参数，第二个“x”代表函数体。
自由变量vs约束变量
- 在 $\lambda$ x.x函数中，x被称为约束变量，因为它同时位于函数体和参数中。
- 在 $\lambda$ x.y函数中，y被称为自由变量，因为它从未被事先声明过。
计算
通过 $\beta$ 规约进行计算，其基本上是词法范围的替代。
在计算表达式( $\lambda$ x.x)a时，我们用“a”替换函数体中出现的所有“x”。
- ( $\lambda$ x.x)a 计算结果为：a
- ( $\lambda$ x.y)a 计算结果为：y
也可以创建高阶函数：
- ( $\lambda$ x.( $\lambda$ y.x))a 计算结果为： $\lambda$ y.a
虽然lambda演算传统上只支持单参数函数，但是我们可以使用一种称为currying的技术创建多参数函数。
- ( $\lambda$ x. $\lambda$ y. $\lambda$ z.xyz) 即 f(x, y, z) = ((x y) z)
有时 $\lambda$ xy.<body>可与 $\lambda$ x. $\lambda$ y.<body>交替使用。
重要的是要认识到传统的lambda演算没有数字，字符或任何非函数数据类型！
布尔逻辑
在lambda演算中没有“True”或“False”。甚至没有1或0。
取而代之的是：
- T表示为： $\lambda$ x. $\lambda$ y.x
- F表示为： $\lambda$ x. $\lambda$ y.y
首先，我们可以定义一个“if”函数 $\lambda$ btf，如果b为True则返回t，如果b为False则返回f
IF 也等同于 $\lambda$ b. $\lambda$ t. $\lambda$ f.b t f
通过使用IF，我们可以定义基础的布尔逻辑运算：
- a AND b 等同于: $\lambda$ ab.IF a b F
- a OR b 等同于: $\lambda$ ab.IF a T b
- NOT a 等同于: $\lambda$ a.IF a F T
注意: IF a b c 本质上是: IF((a b) c)
数字
尽管lambda演算中没有数字，我们可以通过邱奇数编码数字。
任意数字n都可以编码为： $n = \lambda f.f^n$ 。因此：
- 0 = $\lambda$ f. $\lambda$ x.x
- 1 = $\lambda$ f. $\lambda$ x.f x
- 2 = $\lambda$ f. $\lambda$ x.f(f x)
- 3 = $\lambda$ f. $\lambda$ x.f(f(f x))
为了增加邱奇数，我们使用继承函数s(n)=n+1，即
S = $\lambda$ n. $\lambda$ f. $\lambda$ x.f((n f) x)
通过继承，我们可以定义add：
ADD = $\lambda$ ab.(a S)b
挑战：试着定义你自己的乘法函数！
变得更精致：SKI，SK以及Iota
SKI组合子演算
使S, K, I，分别为以下函数：
- I x = x
- K x y = x
- S x y z = x z (y z)
我们可以将lambda演算中的表达式转换为SKI组合子演算中的表达式：
- $\lambda$ x.x = I
- $\lambda$ x.c = Kc
- $\lambda$ x.(y z) = S ( $\lambda$ x.y) ( $\lambda$ x.z)
以邱奇数2为例子：
2 = $\lambda$ f. $\lambda$ x.f(f x)
对于内部部分 $\lambda$ x.f(f x):
$$\begin{split}
\lambda x.f(f x) &=& S ( \lambda x.f) ( \lambda x.(f x)) (case 3) \\
&=& S (K f) (S ( \lambda x.f) ( \lambda x.x)) (case 2, 3) \\
&=& S (K f) (S (K f) I) (case 2, 1)
\end{split}$$
因此：
$$\begin{split}
2
&=& \lambda f. \lambda x.f(f x) \\
&=& \lambda f.(S (K f) (S (K f) I)) \\
&=& \lambda f.((S (K f)) (S (K f) I)) \\
&=& S ( \lambda f.(S (K f))) ( \lambda f.(S (K f) I)) (case 3)
\end{split}$$
对于第一个参数 $\lambda f.(S (K f))$ ：
$$\begin{split}
\lambda f.(S (K f))
&=& S ( \lambda f.S) ( \lambda f.(K f)) (case 3)\\
&=& S (K S) (S ( \lambda f.K) ( \lambda f.f)) (case 2, 3)\\
&=& S (K S) (S (K K) I) (case 2, 3)
\end{split}$$
对于第二个参数 $\lambda f.(S (K f) I)$ ：
$$\begin{split}
\lambda f.(S (K f) I)
&=& \lambda f.((S (K f)) I)\\
&=& S ( \lambda f.(S (K f))) ( \lambda f.I) (case 3)\\
&=& S (S ( \lambda f.S) ( \lambda f.(K f))) (K I) (case 2, 3)\\
&=& S (S (K S) (S ( \lambda f.K) ( \lambda f.f))) (K I) (case 1, 3)\\
&=& S (S (K S) (S (K K) I)) (K I) (case 1, 2)
\end{split}$$
合到一起：
$$\begin{split}
2
&=& S ( \lambda f.(S (K f))) ( \lambda f.(S (K f) I))\\
&=& S (S (K S) (S (K K) I)) (S (S (K S) (S (K K) I)) (K I))
\end{split}$$
SK 组合子运算
SKI组合子运算仍可进一步简化。我们可以通过注意I = SKK来移除I组合子。我们可以用SKK替换所有I。
Iota组合子
SK组合子运算依然不是最简洁的。定义：
$$\begin{split}
ι = \lambda f.((f S) K)
\end{split}$$
我们就有：
$$\begin{split}
I &=& ιι\\
K &=& ι(ιI) = ι(ι(ιι))\\
S &=& ι(K) = ι(ι(ι(ιι)))
\end{split}$$